La antiderivada, es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.
Por ejemplo,si f(x) = X3, entonces, su derivada es: f´(x) = 3X2, por lo tanto, f(x) = X3 es una antiderivada de f´(x) = 3X2, observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si g(x) = X3 + 5, entonces, es otra antiderivada de la función f´(x) = 3X2.
Tengamos en cuenta el siguiente ejemplo:
Una primitiva de la función f(x)=\cos(x) en , es la función F(x)=\sin(x) ya que: {d}{dx}(\sin(x))=\cos(x)\ \for all x\{R} Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número infinito de primitivas tales como sin(x), sin(x) + 5, sin(x) - 100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) será de la forma sin(x) + C donde C es una constante conocida como constante de integración.
PROPIEDADES DE LAS ANTIDERIVADAS DE UNA FUNCION Y SUS EJEMPLOS DEMOSTRATIVOS
Donde:
∫ = Integral indefinida.
dx = diferencial de x.
C = Constante de integración.
k = Constante (1,2,3,100,52).
n = Exponente de la función.
ln = Logaritmo natural.
|x| = Valor absoluto de x.
EJEMPLOS DEMOSTRATIVOS DE ALGUNAS PROPIEDADES
PROPIEDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNAS PROPIEDADES
ANTECEDENTES HISTÓRICOS DEL CALCULO INTEGRAL
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitossumandos, infinitamente pequeños.El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en elproceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática engeneral y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton,Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron elteorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos
Integración antes del cálculo
La integración se puede trazar en el pasado hasta elantiguo Egipto, circa 1800 a. C., con elpapirode Moscú,donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de untroncopiramidal.La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de exhauscióndeEudoxo( circa 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenesa base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o elvolumen. Este método fue desarrollado y usado más adelante porArquímedes,que lo empleópara calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. Métodos similares fuerondesarrollados de forma independiente enChinaalrededor delsiglo IIIporLiu Hui,que los usó paraencontrar el área del círculo.
Más tarde,Zu Chongzhiusó este método para encontrar el volumen de una esfera.En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del matemático indio Bhaskara II,se encuentran algunas ideas de cálculo integral.Hasta el siglo XVIno empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el método de exhausción.
En esta época, por un lado, con el trabajo de Cavaliericon su método de los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat,se empezó a desarrollar los fundamentos del cálculo moderno. A comienzos delsiglo XVII,se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de Barrowy Torricelli,que presentaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y la derivación.
Newton y Leibniz Los principales adelantos en integración vinieron en el siglo XVII con la formulación del teorema fundamental del cálculo,realizado de manera independiente por Newton y Leibniz. El teorema de muestra una conexión entre la integración y la derivación.
Newton introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la época. Pero pronto surgió el problema de la convergencia de la serie, que se resolvió en parte con la introducción de términos residuales, así como con la transformación de series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual.
Introducir el cálculo integral, se logro con el estudio de J.Bernoulli, quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas.
Los creadores del Análisis Infinitesimal introdujeron el Cálculo Integral, considerando los problemas inversos de sus cálculos. En la teoría de fluxiones de Newton la mutua inversibilidad de los problemas del cálculo de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz el problema era más complejo: la integral surgía inicialmente como definida. No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de funciones primitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente la dominante.
El Cálculo Integral incluía además de la integración de funciones, los problemas y la teoría de las ecuaciones diferenciales, el cálculo variacional, la teoría de funciones especiales, etc. Tal formulación general creció inusualmente rápido. Euler necesitó en los años 1768 y 1770 tres grandes volúmenes para dar una exposición sistemática de él.
Según Euler el Cálculo Integral constituía un método de búsqueda, dada la relación entre los diferenciales o la relación entre las propias cantidades. La operación con lo que esto se obtenía se denominaba integración. El concepto primario de tal Cálculo, por supuesto, era la integral indefinida. El propio Cálculo tenía el objetivo de elaborar métodos de búsqueda de las funciones primitivas para funciones de una clase lo más amplia posible.
Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y después a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La integración llevada por este último hasta sus últimas consecuencias y las cuadraturas por él encontradas, todavía constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo Integral, cuyos textos actuales son sólo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo al lenguaje. Estos juicios se confirman con la revisión concreta del famoso Cálculo Integral de Euler y su comparación con los textos actuales.
La palabra cálculo proviene del latín calculus, que significa contar con piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad de contar, comienza la historia del cálculo. Tales piedrecitas ensartadas en tiras constituían el ábaco romano que, junto con el suwanpan japonés, constituyen las primeras máquinas de calcular en el sentido de contar.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en la que se estudia el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
EJERCICIOS DE PRUEBA
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Lección 1 Introducción al concepto de Antiderivada 1 (Integral Indefinida)
Lección 2 Introducción al concepto de Antiderivada 2 (Integral Indefinida)
Lección 3 Introducción al concepto de Antiderivada 3 (Integral Indefinida)
Lección 4 Integral de una función a la n, Parte 1
Lección 5 Integral de una función a la n, Parte 2
Lección 6 Integrales que generan logarítmos naturales, Parte 1
Lección 7 Integrales que generan logarítmos naturales, Parte 2
Lección 8 Integral de la función exponencial
Lección 9 Integral de la función Seno
Lección 10 Integral de la función Coseno
Lección 11 Integral de la función Tangente
Leccion 12 Integral de la funcion Cotangente
Lección 13 Integral de las funciones secante y cosecante al cuadrado
Lección 14 Integral del producto secante por tangente y cosecante por cotangente
Lección 15 Integrales de tipo arco o argumento (inversas trigonométricas)
Leccion 17 Integral de la funcion Secante
Leccion 18 Integral de la funcion Cosecante
Leccion 19 Liate a la integracion por partes
Leccion 20 Integracion por partes (Ej. Parte 1)
Leccion 21 Integracion por partes (Ej. Parte 2)
Leccion 22 Integracion por partes (Ej. Parte 3)
Leccion 23 Integracion por partes
Leccion 24 Integracion recurrente y la inegracion por partes
Leccion 25 Integrales trigonometricas (Caso 1)
